← Հետ գնալ

🎓 Հանրահաշիվ

Հանրահաշիվը ուսումնասիրում է թվային հարաբերություններն ու փոփոխականների հետ աշխատելը:


1

Իրական թիվ

▼
2

Քառակուսային եռանդամ

▼
3

Վիճակագրություն և հավանականություն

▼
4

Գծային հավասարումների համակարգ

▼
5

Ռացիոնալ արտահայտություն

▼
6

Անհավասարում

▼
7

Իռացիոնալ հավասարում և անհավասարում

▼
1.1 Պարբերական տասնորդական կոտորակ
Սահմանում:
Պարբերական տասնորդականը այնպիսի թիվ է, որի մասերը կրկնվում են նույն հաջորդականությամբ:
📐 Պարբերական կոտորակ
0.333... 0.272727...
Առաջադրանք:
Վերծանեք 0.444... թվի տեսքը եռանկյունաչափի մեջ:
Պատասխան: 4 կրկնվող է.
1.2 Պարբերական տասնորդական կոտորակի վերածումը ռացիոնալ թվի
Սահմանում:
Պարբերական թիվը կարելի է գրել որպես "+a/b+" ձևաչափով:
📐 Թվերի վերածում
0.666... = 2/3
Առաջադրանք:
Վերահաշվեք 0.125125... որպես ռացիոնալ թիվ:
Պատասխան: 125/999
1.3 Իռացիոնալ և իրական թվեր
Սահմանում:
Իռացիոնալ թվերը չեն արտահայտվում որպես a/b, իրական թվերը ներառում են երկուսը:
📐 Թվերի տախտակը
Ռացիոնալ Իռացիոնալ
Առաջադրանք:
Բացացրեք sqrt(2)-ը իրական թվի տեսքով:
Պատասխան: Իռացիոնալ
1.4 Թվաբանական գործողություններ քառակուսային արմատի հետ
Սահմանում:
Քառակուսային արմատները կարգավորող կանոններով պարզվում են բազմապատկման և բաժանման միջոցով:
📐 Արտահայտություն
√a × √b = √(ab)
Առաջադրանք:
Պարզեք √4 × √9:
Պատասխան: 2 × 3 = 6
1.5 Արմատ բացասական թվի քառակուսուց
Սահմանում:
Առաջին հերթին լինում է իրական արմատ միայն դրական թվերի համար:
📐 Բացասական արմատ
√(-4) = 2i
Առաջադրանք:
Ի՞նչ է √(-1):
Պատասխան: i
1.6 Իրական թվերի կլորացումը: Կլորացված թվերի բազմապատկումը և բաժանումը
Սահմանում:
Կլորացումը մոտավորեցնում է թիվը դատարկ նշանով կամ մեկ կետում:
📐 Կլորացում
3.1416 ≈ 3.14
Առաջադրանք:
Մուլտիպլիկացրեք 3.1 × 2.0:
Պատասխան: 6.2
1.7 Կլորացված թվերի գումարումը և հանումը
Սահմանում:
Գումարելը և հանումը կատարվում է մոտավոր նույնանշանով՝ արդյունքը նույնպես կլորացվում է:
📐 Գումարում
2.5 + 3.4 ≈ 5.9
Առաջադրանք:
4.56 + 1.23-ը շրջապատեք մեկ քանակություններով:
Պատասխան: 5.8
1.8 Երբ արտադրյալը 0 է: Համախումբ
Սահմանում:
Եթե արտադրյալը 0 է, ապա առնվազն մեկ գործակիցը պետք է լինի 0:
📐 Արտադրյալ
a × b = 0
Առաջադրանք:
Եթե x(2-x)=0, ինչ արժեքներ ունի x-ը:
Պատասխան: x = 0 կամ x = 2
1.9 ax² + bx = 0 և x² = b տիպի հավասարումների լուծումը
Սահմանում:
Այս հավասարումները լուծվում են ընդհանուր ձևով կամ արմատների օգնությամբ:
📐 Կարգավորումներ
x² = b → x = ±√b
Առաջադրանք:
Լուծեք 2x² + 4x = 0:
Պատասխան: x = 0 կամ x = -2
2.1 Լրիվ քառակուսու անջատումով հավասարումների լուծումը
Սահմանում:
Լրիվ քառակուսին ստեղծելու համար հավասարման թերթերը խմբավորվում և լրացվում են:
📐 Լրիվ քառակուս
x² + 6x + 9 = (x+3)²
Առաջադրանք:
Լուծեք x² + 4x + 4 = 0:
Պատասխան: x = -2
2.2 Քառակուսային եռանդամ
Սահմանում:
Քառակուսային եռանդամը ունի տեսք ax² + bx + c = 0 ու գրաֆիկը պարաբոլ է:
📐 Պարաբոլ
Առաջադրանք:
Արտահայտեք a=1, b=0, c=-4 պարաբոլը:
Պատասխան: x² - 4 = 0
2.3 Քառակուսային հավասարում
Սահմանում:
Քառակուսային հավասարումներն ունեն մինչև երկու լուծում՝ կախված եզրից:
📐 Լուծումներ
x² - 5x + 6 = 0 → x=2,3
Առաջադրանք:
Լուծեք x² - x - 6 = 0:
Պատասխան: x = 3 կամ x = -2
2.4 Քառակուսային եռանդամի վերլուծումը գծային արտադրիչների
Սահմանում:
Գծային արտադրիչները ցույց են տալիս պարաբոլի վերին կամ ստորին դիրքը:
📐 Գրաֆիկ
a>0
Առաջադրանք:
Որոնք են a-ի նշանները, եթե պարաբոլը բացվում է վեր: Պատասխան: a>0
2.5 Մի քանի պայմանների միաժամանակ տեղի ունենալը: Համակարգ
Սահմանում:
Համակարգի լուծումները բավարարում են բոլոր հավասարումները միաժամանակ:
📐 Համակարգ
x + y = 5 x - y = 1
Առաջադրանք:
Որոշեք x և y՝ x+y=5 և x-y=1:
Պատասխան: x=3, y=2
2.6 Վիետի թեորեմը
Սահմանում:
Վիետի տևիքը կապում է x1+x2 և x1x2 հարաբերությունները հավասարման գործակիցների հետ:
📐 Վիետ
x² - 5x + 6 = 0 x1+x2=5, x1x2=6
Առաջադրանք:
Գրեք x1+x2 և x1x2՝ x²-3x+2=0:
Պատասխան: x1+x2=3, x1x2=2
2.7 Վիետի թեորեմի կիրառությունները
Սահմանում:
Վիետի օրինակը օգտակար է արմատների արագ հայտնաբերման համար:
📐 Գործադրություններ
x² - x - 6 = 0 → x1+x2=1
Առաջադրանք:
Վերահաշվեք x1x2-ը՝ x² - x - 6 = 0:
Պատասխան: -6
2.8 Քառակուսային եռանդամի գրաֆիկը, պարաբոլ
Սահմանում:
Պարաբոլը քառակուսային ֆունկցիայի գրաֆիկն է:
📐 Գրաֆիկ
Առաջադրանք:
Ինչ-որ միացությունների գրաֆիկն է y=x²:
Պատասխան: Պարաբոլ
3.1 Վիճակագրական տվյալների մեդիան
Սահմանում:
Մեդիան տվյալների միջին արժեքն է, երբ դրանք դասավորված են աճման կարգով:
📐 Մեդիան
[2,4,6,8,10] → 6
Առաջադրանք:
Գրեք այս ցանկի մեդիան՝ 1,3,5,7:
Պատասխան: 4
3.2 Գումարային հաճախային դիագրամ
Սահմանում:
Հաճախական դիագրամը ցույց է տալիս տվյալների թույլատրելիության բնակչությունը:
📐 Գրադիագրամ
Առաջադրանք:
Ըստ դիագրամի ճշգրեք առավել հաճախակի միջակայքը:
Պատասխան: 10-12
3.3 Պոտենցիալ և քվարտիլ
Սահմանում:
Պոտենցիալը մի հասցե է, քվարտիլները բաժանում են տվյալները չորս մասի:
📐 Քվարտիլ
Առաջադրանք:
Գտեք միջին քվարտիլը հաջորդությունից՝ 1,2,3,4,5:
Պատասխան: 3
3.4 Հավասարհավանականությունն ու երկրաչափությունը
Սահմանում:
Երկրաչափական հավանականությունը չափվում է favorable հատվածի հարաբերությամբ ամբողջի:
📐 Հավանականություն
Առաջադրանք:
Եթե շրջանագծի մեկ քառորդը նշված է, ինչ է հավանականությունը:
Պատասխան: 1/4
4.1 Երկու փոփոխականով գծային հավասարում
Սահմանում:
Երկու փոփոխականով գծային հավասարումը պարզ գիծ է հարթության մեջ:
📐 Գիծ
Առաջադրանք:
Սովորեք y = 2x + 1 գծի անցնող մի կետ:
Պատասխան: (0,1)
4.2 Գծային հավասարումների համակարգ
Սահմանում:
Համակարգն ունի երկու կամ ավելի գծային հավասարումներ միասին:
📐 Համակարգ
Առաջադրանք:
Որն է համակարգի լուծումը՝ y = x + 2 և y = 4 - x:
Պատասխան: x = 1, y = 3
4.3 Երկու անհայտով գծային հավասարումների համակարգի լուծումը (տեղադրման եղանակ)
Սահմանում:
Տեղադրման եղանակը օգտագործվում է մեկ հավասարումը մյուսում փոխարինելու համար:
📐 Տեղադրում
x = 3 - y
Առաջադրանք:
Լուծեք x+y=5, x=2y:
Պատասխան: x=10/3, y=5/3
4.4 Երկու անհայտով գծային հավասարումների համակարգի լուծումը (գործակիցների հավասարեցման եղանակ)
Սահմանում:
Գործակիցների հավասարեցումն օգնում է մեկ երկուսի կարողությունները:
📐 Հավասեցում
2x + y = 5 x - y = 1
Առաջադրանք:
Հավասեցում եղանակով լուծեք x+y=4 և 2x-y=1:
Պատասխան: x=5/3, y=7/3
4.5 Երկու անհայով գծային հավասարումների համակարգի լուծման գրաֆիկական եղանակը, համակարգի լուծումների քանակը
Սահմանում:
Գրաֆիկական լուծումը ցույց է տալիս՝ քանի ընդհանուր կետ ունեն գծերը:
📐 Տեսք
Առաջադրանք:
Որքան լուծում ունի զուգահեռ գծերի համակարգը:
Պատասխան: Չունի կամ ոչ մի լուծում
5.1 Հանրահաշվական կոտորակ և ռացիոնալ արտահայտություն
Սահմանում:
Հանրահաշվական կոտորակը կազմված է ամբողջ մասից և բաժանորդից:
📐 Ռացիոնալ արտահայտություն
3/4
Առաջադրանք:
Պարեք 5/8 որպես ռացիոնալ արտահայտություն:
Պատասխան: 5/8
5.2 Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկումը, բաժանումն ու կրճատումը
Սահմանում:
Բազմապատկման և բաժանման կանոնները հիմնված են թվերի միավորի և բաժանորդի վրա:
📐 Մուլտիպլիկացում
2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/2
Առաջադրանք:
Պարզեք 3/5 × 2/3:
Պատասխան: 2/5
5.3 Ցուցիչի վարքը բաժանման ժամանակ
Սահմանում:
Ցուցիչները բաժանելիս համարվում են հակադարձ բազմապատկության:
📐 Ցուցիչ
a^m / a^n = a^{m-n}
Առաջադրանք:
Հաշվեք 2^5 / 2^2:
Պատասխան: 2^3 = 8
5.4 Բացասական ցուցիչով ավելանիշ
Սահմանում:
Բացասական ցուցանիշը արտահայտվում է որպես մեկի բաժանում դրական ցուցչով:
📐 Բացասական ցուցիչ
a^{-n} = 1/a^n
Առաջադրանք:
Գրեք 2^{-3} որպես պարզ թիվ:
Պատասխան: 1/8
5.5 Հանրահաշվական կkotորակների գումարումն ու հանումը
Սահմանում:
Գումարելիս և հանելիս ընդհանուր մասերը հավասարեցնում են:
📐 Գումար
2/5 + 1/5 = 3/5
Առաջադրանք:
Խնդրեք 3/4 - 1/4:
Պատասխան: 1/2
5.6 Ռացիոնալ արտահայտությունների ձևափոխություններ
Սահմանում:
Ռացիոնալ արտահայտությունները պարզեցվում են միակավորիչների և ընդարձակման միջոցով:
📐 Տեղափոխություն
(x+1)/(x+1) = 1
Առաջադրանք:
Պարզեք (x²-1)/(x-1):
Պատասխան: x+1
5.7 Թվի ստանդարտ տեսքը
Սահմանում:
Թվի ստանդարտ տեսքը արտահայտվում է a × 10^n ձևով:
📐 Ստանդարտ տեսք
4.5 × 10^3
Առաջադրանք:
Գրեք 12000-ը ստանդարտ տեսքով:
Պատասխան: 1.2 × 10^4
6.1 Անհավասարությունների նշանները
Սահմանում:
Անհավասարությունները ցույց են տալիս թվերի մեծությունն ու փոքրությունը:
📐 Նշաններ
a < b, a > b, a ≤ b, a ≥ b
Առաջադրանք:
Ընթացեք 3 և 5 հարաբերությունը:
Պատասխան: 3 < 5
6.2 Անհավասագրնականը նույնական ձևափոխություն, մեկ փոփոխականի գծային անհավասարում
Սահմանում:
Անհավասարությունը կարելի է լուծել՝ նույնական փոփոխություններ կատարելով, ինչպես հավասարումներում:
📐 Լուծում
2x + 3 > 7 → x > 2
Առաջադրանք:
Լուծեք 3x - 1 < 8:
Պատասխան: x < 3
6.3 Բաց և փակ միջակայքեր: Անհավասարման լուծումների պատկերումը
Սահմանում:
Բաց միջակայքը չի ներառում ծայրակետերը, փակ միջակայքը ներառում է:
📐 Միջակայք
Առաջադրանք:
Պատկերագրեք x > 1 և x ≤ 4:
Պատասխան: բաց չկետ՝ 1, փակ՝ 4
6.4 Մեկ անհայտով գծային անհավասարումների համակարգ
Սահմանում:
Համակարգի լուծումը այն x արժեքներն են, որոնք բավարարում են բոլոր անհավասարություններին:
📐 Համակարգ
x > 1 և x < 3 → 1 < x < 3
Առաջադրանք:
Լուծեք x > 0 և x ≤ 2:
Պատասխան: 0 < x ≤ 2
6.5 Անհավասարությունների համախումբ
Սահմանում:
Համախումբը բազմաթիվ անհավասարությունների միավորումն է, արդյունքը տրամաբանական տեսքով:
📐 Համախումբ
x > 1 և x ≠ 2
Առաջադրանք:
Գրեք x > 0 և x < 5 որպես համախումբ:
Պատասխան: 0 < x < 5
6.6 Անհավասարությունների ոչ նույնական ձևափոխություններ
Սահմանում:
Երբ բազմապատկում կամ բաժանում ենք բացասական թիվով, անհավասարման նշանը փոխվում է:
📐 Զнакերի փոխարկում
-2x > 4 → x < -2
Առաջադրանք:
Խնդիր լուծեք -3x < 9:
Պատասխան: x > -3
7.1 Իռացիոնալ հավասարումներ, թույլատրելի արժեքների բազմություն
Սահմանում:
Իռացիոնալ հավասարումները կարող են ունենալ հավելյալ պայմաններ այն է, որ արմատների տակը չդառնա բացասական:
📐 Պայման
√(x+2) = 3
Առաջադրանք:
Որն է x-ի թույլատրելի արժեքը √(x-1) = 2:
Պատասխան: x ≥ 1, x = 5
7.2 Ոչ նույնական ձևափոխություններ: Պարզագույն իռացիոնալ հավասարումներ
Սահմանում:
Ոչ նույնական ձևափոխությունները պետք է պահպանեն հավասարման ճիշտությունը:
📐 Հավասարում
√x = 5 → x = 25
Առաջադրանք:
Լուծեք √(x+4)=6:
Պատասխան: x=32
7.3 Իռացիոնալ անհավասարումներ
Սահմանում:
Իռացիոնալ անհավասարումները լուծվում են սկզբում արմատը հանումով:
📐 Անհավասարում
√x < 3 → x < 9
Առաջադրանք:
Լուծեք √x ≥ 4:
Պատասխան: x ≥ 16
7.4 Մոդուլով հավասարումներ և անհավասարումներ
Սահմանում:
Մոդուլը ցույց է տալիս թվի հեռավորությունը զրոյից:
📐 Մոդուլ
|x| = 3 → x = ±3
Առաջադրանք:
Լուծեք |x-2| = 5:
Պատասխան: x = 7 կամ x = -3